已知不共线的两个向量OA，OB，|OA|=|OB|=3，若OC=λOA+(1-λ)OB，且|OC|=3，则|AB|的最小值为______．

题文

已知不共线的两个向量OA，OB，|OA|=|OB|=3，若OC=λOA+(1-λ)OB（0＜λ＜1），且|OC|=3，则|AB|的最小值为______． 题型：未知 难度：其他题型

答案

AB=OB-OA，
|AB|²=（OB-OA）•（OB-OA）
=|OB|²+|OA|²-2（OA•OB）
=18-2（OA•OB），
|AB|最小时OA•OB最大．
3=|OC|²=[λOA+（1-λ）OB]•[λOA+（1-λ）OB]
=9λ²+9（1-λ）²+2λ（1-λ）（OA•OB），
所以OA•OB=9λ2-9λ +3λ2-λ=9+3λ2-λ=9+3 λ(λ-1)；
因为λ（1-λ）≤(λ+1-λ2)2=14，所以λ（1-λ）的最大值是14，
所以OA•OB≤9-314=-3．
所以OA•OB的最大值是-3，
|AB|²=18-2（OA•OB）≥18+6=24，
所以|AB|的最小值是26．
故答案为：26．

解析

AB

考点

据考高分专家说，试题“已知不共线的两个向量OA，OB，|OA|.....”主要考查你对 [向量数量积的运算 ]考点的理解。