设椭圆C：x2λ+1+y2=1的两焦点是F1，F2，且椭圆上存在点P，使PF1•PF2=0求实数λ的取值范围；若直线l：x-y+2=0与椭

题文

设椭圆C：x2λ+1+y2=1（λ＞0）的两焦点是F₁，F₂，且椭圆上存在点P，使PF1•PF2=0
（1）求实数λ的取值范围；
（2）若直线l：x-y+2=0与椭圆C存在一公共点M，使得|MF₁|+|MF₂|取得最小值，求此最小值及此时椭圆的方程．
（3）在条件（2）下的椭圆方程，是否存在斜率为k（k≠0）的直线，与椭圆交于不同的两点A、B，满足AQ=QB，且使得过点Q，N（0，-1）两点的直线NQ满足NQ•AB=0？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

解（1）由椭圆定义可得：|PF1|+|PF2|=2λ+1由PF1•PF2=0可得|PF₁|²+|PF₂|²=4λ
而|PF1|2+|PF2|2≥(|PF1|+|PF2|)22∴4λ≥2（λ+1）解得λ≥1（3分）．
（2）由x-y+2=0，x2λ+1+y2=1，得（λ+2）x²+4（λ+1）x+3（λ+1）=0
△=16（λ+1）²-12（λ+2）（λ+1）=4（λ+1）（λ-2）≥0•
解得λ≥2或λ≤-1（舍去）∴λ≥2此时|MF1|+|MF2|=2λ+1≥23
当仅当λ=2时，|MF₁|+|MF₂|取得最小值23，此时椭圆方程为x23+y2=1（8分）
（3）由AQ=QB知点Q是AB的中点．设两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），中点Q（x，y），则
x123+y12=1x223+y22=1两式相减得(x 1+x2)(x1-x2)3+(y1-y2)(y1+y2)=0
∴y2-y1x2-x1=-x2+x13(y2+y1)∴AB中点Q（x，y）的轨迹为直线y=-13kx①
且在椭圆内的部分．又由NQ•AB=0可知，NQ⊥AB，
所以直线NQ的斜率为-1k，方程为y=-1kx-1②
联立①、②可求得点Q的坐标为(-3k2，12)
∵点Q必在椭圆内，(-3k2)23+(12)，1，解得k²＜1
又∵k≠0，∴k∈（-1，0）∪（0，1）（12分）

解析

λ+1

考点

据考高分专家说，试题“设椭圆C：x2λ+1+y2=1（λ＞0）.....”主要考查你对 [向量数量积的运算 ]考点的理解。