设点F1，F2分别是椭圆C：x22+y2=1的左、右焦点，P为椭圆C上任意一点．求数量积PF1-PF2的取值范围；设过点F1且不与坐标轴垂直的直线交

题文

设点F₁，F₂分别是椭圆C：x22+y2=1的左、右焦点，P为椭圆C上任意一点．
（1）求数量积PF1-PF2的取值范围；
（2）设过点F₁且不与坐标轴垂直的直线交椭圆C于A、B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由题意，可求得F₁（-1，0），F₂（1，0）．              
设P（x，y），则有F1P=(x+1，y)，F2P=(x-1，y)，
PF1•PF2=x2+y2-1=12x2，x∈[-2，2]，
∴PF1•PF2∈[0，1]．                                           
（2）设直线AB的方程为y=k（x+1）（k≠0），
代入x22+y2=1，整理得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0，（*）       
∵直线AB过椭圆的左焦点F₁，∴方程*有两个不相等的实根．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中点为M（x₀，y₀），则x1+x2=-4k22k2+1，x0=-2k22k2+1，y0=k2k2+1．                 
线段AB的垂直平分线NG的方程为y-y0=-1k(x-x0)．             
令y=0，则x_G=x₀+ky₀=-2k22k2+1+k22k2+1=-k22k2+1=-12+14k2+2．
∵k≠0，∴-12＜xG＜0．即点G横坐标的取值范围为(-12，0)．

解析

F1P

考点

据考高分专家说，试题“设点F1，F2分别是椭圆C：x22+y2.....”主要考查你对 [向量数量积的运算 ]考点的理解。