已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C过点(1，32)，离心率为32，点A为其右顶点．过点B作直线l与椭圆C相交于E，F两点，直线AE，AF与直线x=3

题文

已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C过点(1，32)，离心率为32，点A为其右顶点．过点B（1，0）作直线l与椭圆C相交于E，F两点，直线AE，AF与直线x=3分别交于点M，N．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）求EM•FN的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）由题意，设椭圆的方程为x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)，
依题意得a2=b2+c2ca=321a2+34b2=1解之可得a²=4，b²=1．
所以椭圆C的方程为x24+y2=1．…（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知点A的坐标为（2，0）．
（1）当直线l的斜率不存在时，不妨设点E在x轴上方，
易得E(1，32)，F(1，-32)，M(3，-32)，N(3，32)，所以EM•FN=1．…（6分）
（2）当直线l的斜率存在时，由题意可设直线l的方程为y=k（x-1），显然k=0时，不符合题意．
由y=k(x-1)x2+4y2-4=0消y并整理得（4k²+1）x²-8k²x+4k²-4=0．
设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），则x1+x2=8k24k2+1，x1x2=4k2-44k2+1．
直线AE，AF的方程分别为：y=y1x1-2(x-2)，y=y2x2-2(x-2)，
令x=3，则M(3，y1x1-2)，N(3，y2x2-2)．
所以EM=(3-x1，y1(3-x1)x1-2)，FN=(3-x2，y2(3-x2)x2-2)．…（10分）
所以EM•FN=(3-x1)(3-x2)+y1(3-x1)x1-2•y2(3-x2)x2-2
=(3-x1)(3-x2)(1+y1y2(x1-2)(x2-2))=(3-x1)(3-x2)(1+k2•(x1-1)(x2-1)(x1-2)(x2-2))
=[x1x2-3(x1+x2)+9]×[1+k2•x1x2-(x1+x2)+1x1x2-2(x1+x2)+4]
=(4k2-44k2+1-3•8k24k2+1+9)•(1+k2•4k2-44k2+1-8k24k2+1+14k2-44k2+1-2•8k24k2+1+4)
=(16k2+54k2+1)•(1+-3k24k2)=16k2+516k2+4=1+116k2+4．…（12分）
因为k²＞0，所以16k²+4＞4，所以1＜16k2+516k2+4＜54，即EM•FN∈(1，54)．
综上所述，EM•FN的取值范围是[1，54)．…（14分）

解析

x2a2

考点

据考高分专家说，试题“已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C过点.....”主要考查你对 [向量数量积的运算 ]考点的理解。