已知椭圆C的两个焦点为F1，F2，点A(1，22)在椭圆C上．求椭圆C的方程；已知点B，设点P是椭圆C上任一点，求P

题文

已知椭圆C的两个焦点为F₁（-1，0），F₂（1，0），点A(1，22)在椭圆C上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知点B（2，0），设点P是椭圆C上任一点，求PF1•PB的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设椭圆C的方程为x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)…（1分）
由椭圆定义，2a=|AF1|+|AF2|=(1+1)2+(22)2+(1-1)2+(22)2=22…（4分）
∴a=2，∵c=1，∴b²=a²-c²=1．…（5分）
故所求的椭圆方程为x22+y2=1．…（6分）
（2）设P(x，y).PF1=(-1-x，-y)，PB=(2-x，-y)…（7分）
∴PF1•PB=(-1-x，-y)•(2-x，-y)=(-1-x)(2-x)+y2=x2-x-2+y2…（9分）
∵点P在椭圆上，
∴y2=1-x22…（10分）
∴PF1•PB=12x2-x-1=12(x-1)2-32
∵-2≤x≤2…（12分）
∴x=1，PF1•PB有最小值-32；
x=-2，PF1•PB有最大值12×(-2)2+2-1=2
∴-32≤PF1•PB≤2，
∴PF1•PB的范围是[-32，2]…（14分）

解析

x2a2

考点

据考高分专家说，试题“已知椭圆C的两个焦点为F1（-1，0），.....”主要考查你对 [向量数量积的运算 ]考点的理解。