已知向量a=(cos3x2，sin3x2)，b=(cosx2，-sinx2)，且x∈[0，π2]，f=a•b-2λ|a+b|，求：a•b

题文

已知向量a=(cos3x2，sin3x2)，b=(cosx2，-sinx2)，且x∈[0，π2]，f（x）=a•b-2λ|a+b|（λ为常数），
求：（1）a•b及|a+b|；
（2）若f（x）的最小值是-32，求实数λ的值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）a•b=cos3x2cosx2-sin3x2sinx2=cos2x，|a+b|=(cos3x2+cosx2)2+(sin3x2-sinx2)2=2+2cos2x=2cos2x，
∵x∈[0，π2]，
∴cosx≥0，
∴|a+b|=2cosx．
（2）f（x）=cos2x-4λcosx=2（cosx-λ）²-1-2λ²，
∵x∈[0，π2]，
∴0≤cosx≤1，
①当λ＜0时，当且仅当cosx=0时，f（x）取得最小值-1，这与已知矛盾；
②当0≤λ≤1，当且仅当cosx=λ时，f（x）取得最小值-1-2λ²，
由已知得-1-2λ2=-32，解得λ=12；
③当λ＞1时，当且仅当cosx=1时，f（x）取得最小值1-4λ，
由已知得1-4λ=-32，解得λ=58，这与λ＞1相矛盾、
综上所述，λ=12为所求．

解析

a

考点

据考高分专家说，试题“已知向量a=(cos3x2，sin3x2.....”主要考查你对 [用坐标表示向量的数量积 ]考点的理解。