已知a=(2sinx2，3+1)b=(cosx2-3sinx2，1)f(x)=a•b+m求f在[0，2π]上的单调区间当x∈[0，π2]时，f

题文

已知a=(2sinx2，3+1)b=(cosx2-3sinx2，1)f(x)=a•b+m
（1）求f（x）在[0，2π]上的单调区间
（2）当x∈[0，π2]时，f（x）的最小值为2，求f（x）≥2成立的x的取值集合．
（3）若存在实数a，b，C，使得a[f（x）-m]+b[f（x-C）-m]=1，对任意x∈R恒成立，求bacosC的值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）f(x)=a•b+m=2sinx2cosx2-23sin2x2+3+1+m=sinx+3cosx+1+m=2sin（x+π3）+1+m
由x∈[0，2π]，可得π3≤x+π3≤2π+π3．
当π3≤x+π3≤π2时，可得函数f（x）在 [0，π6]上递增，当π2≤x+π3≤3π2时，可得函数f（x）在[π6，7π6]上 递减．
当3π2≤x+π3≤2π+π3时，可得函数在[7π6，2π]上递增．------------（2分）
（2）由于x∈[0，π2]，x+π3∈[π3，5π6]，故sin(x+π3)min=12，所以f（x）_min=2+m=2    所以 m=0．--------（1分）
所以，f(x)=2sin(x+π3)+1，由f（x）≥2，可得2sin(x+π3)+1≥2sin(x+π3)≥12，2kπ+π6≤x+π3≤2kπ+5π6，
所以{x|2kπ-π6≤x≤2kπ+π2 k∈z}．--------（3分）
（3）∵a[f(x)-m]+b[f(x-C)-m]=a[2sin(x+π3)+1]+b[2sin(x+π3-C)+1] 
=2asin(x+π3)+a+2bsin(x+π3)cosC-2bsinCcos(x+π3)+b，
对任意x∈R，(2a+2bcosc)sin(x+π3)-2bsinccos(x+π3)+b+a-1=0 恒成立，
故有（2a+2bcosC）=0，且2bsinC=0，且b+a-1=0．
经讨论只能有 sinC=0，cosC=-1，a=b=12，所以，bacosC=-1．--------（4分）

解析

a

考点

据考高分专家说，试题“已知a=(2sinx2，3+1)b=(c.....”主要考查你对 [用坐标表示向量的数量积 ]考点的理解。