已知点列An满足：A0An•A1An+1=a-1，其中n∈N，又已知x0=-1，x1=1，a＞1．若xn+1=f，求f（x

题文

已知点列A_n（x_n，0）满足：A0An•A1An+1=a-1，其中n∈N，又已知x₀=-1，x₁=1，a＞1．
（1）若x_n+1=f（x_n）（n∈N^*），求f（x）的表达式；
（2）已知点B(a，0)，记a_n=|BA_n|（n∈N^*），且a_n+1＜a_n成立，试求a的取值范围；
（3）设（2）中的数列a_n的前n项和为S_n，试求：Sn＜a-12-a． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵A₀（-1，0），A₁（1，0），∴A0An•A1An+1=(xn+1)(xn+1-1)，
∴（x_n+1）（x_n+1-1）=a-1，∴xn+1=f(xn)=xn+axn+1，
∴f(x)=x+ax+1．（3分）
（2）∵xn+1=f(xn)=xn+axn+1，a＞1，∴x_n＞1，∴x_n+1＞2
∵BAn=(xn-a，0)，∴an=|BAn|=|x n-a|．
∵an+1=|x n+1-a|=|f(xn)-a|=|xn+axn+1-a|=(a-1)|xn+1|•|xn-a|＜12(a-1)•|xn-a|=12(a-1)an
∴要使a_n+1＜a_n成立，只要a-1≤2，即1＜a≤9
∴a∈（1，9]为所求．（6分）
（3）∵an+1＜12(a-1)|xn-a|＜122(a-1)2•|x n-1-a|＜…＜＜12n(a-1)n•|x 1-a|=12n(a-1)n+1，
∴an＜12n-1(a-1)n（9分）
∴Sn=a1+a2+…+an＜(a-1)+12(a-1)2+…+12n-1(a-1)n=(a-1)[1-(a-12)n]1-12(a-1)
（11分）
∵1＜a≤9，∴0＜a-12≤1，∴0＜(a-12)n≤1（13分）
∴(a-1)[1-(a-12)n]1-12(a-1)＜a-11-12(a-1)＜a-11-(a-1)
∴Sn＜a-12-a（14分）

解析

A0An

考点

据考高分专家说，试题“已知点列An（xn，0）满足：A0An•.....”主要考查你对 [用坐标表示向量的数量积 ]考点的理解。