已知a=(cos(π4x)，1)，b=(f(x)，2sin(π4x))，a∥b．数列an满足a1=12，an+1=f(an).n∈N*．证明：0＜an＜a

题文

已知a=(cos(π4x)，  1)，  b=(f(x)，  2sin(π4x))，a∥b．数列a_n满足a1=12，  an+1=f(an). n∈N*．
（Ⅰ）证明：0＜a_n＜a_n+1＜1；
（Ⅱ）已知an^ ≥12，证明：an+1-π4an＞4-π4；
（Ⅲ）设T_n是数列a_n的前n项和，判断T_n与n-3的大小，并说明理由．． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）∵a∥b，
∴cos(π4x)•2sin(π4x)-f(x)=0．
∴f(x)=sin(π2x)．
∴an+1=f(an)=sin(π2an)．（1分）
下面用数学归纳法证明：0＜a_n＜a_n+1＜1．
①n=1时，a1=12，  a2=sin(π2a1)=sinπ4=22.  ∴0＜a1＜a2＜1，
故结论成立．
②假设n=k时结论成立，即0＜ak＜ak+1＜1， ∴ 0＜π2ak＜π2ak+1＜π2．
∴0＜sin(π2ak)＜sin(π2ak+1)＜1，
即0＜a_k+1＜a_k+2＜1．
也就是说n=k+1时，结论也成立．
由①②可知，对一切n∈N^*均有0＜a_n＜a_n+1＜1．（4分）
（Ⅱ）要证an+1-π4an＞4-π4，即证sin(π2an)-π4an-4-π4＞0，其中12≤an＜1．
令g(x)=sin(π2x)-π4x-4-π4.x∈[12，  1)．
由g′(x)=π2cos(π2x)-π4=π2[cos(π2x)-12]=0，得x=23．（6分） x(12，  23)23(23，  1)g'（x）+0-g（x）↗极大值↘又g（1）=0，g(12)=22-π8-4-π4=42+π-88＞0．
∴当x∈[12，  1)，g（x）＞0．
∴sin(π2x)-π4x＞4-π4．
∴sin(π2an)-π4an＞4-π4．
即an+1-π4an＞4-π4．（9分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知：
1-an+1＜π4(1-an)＜(π4)2(1-an-1)＜(π4)n(1-a 1)=(π4)n12.  n∈N*．（11分）
∴(1-a1)+(1-a2)++(1-an)＜12+12•(π4)++12•(π4)n-1＜121-π4=24-π．
∴Tn=a1+a2++an＞n-24-π．（13分）
又24-π-3=3π-104-π＜0，
即n-24-π＞n-3．
∴T_n＞n-3．（14分）

解析

a

考点

据考高分专家说，试题“已知a=(cos(π4x)，1)，b=(.....”主要考查你对 [用坐标表示向量的数量积 ]考点的理解。