已知函数f(x)=lg(3-x3+x)，其中x∈．判别函数f的奇偶性；判断并证明函数f在上单调性；是否存在

题文

已知函数f(x)=lg(3-x3+x)，其中 x∈（-3，3）．
（1）判别函数f（x）的奇偶性；
（2）判断并证明函数f（x）在（-3，3）上单调性；
（3）是否存在这样的负实数k，使f（k-cosθ）+f（cos²θ-k²）≥0对一切θ∈R恒成立，若存在，试求出k取值的集合；若不存在，说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）因为函数的定义域关于原点对称，由f(-x)=lg3+x3-x=lg(3-x3+x)-1=-lg(3-x3+x)=-f(x)．
所以f（x）是奇函数．
（2）任取-3＜x₁＜x₂＜3，
则f(x1)-f(x2)=lg3-x13+x1-lg3-x23+x2=lg(3-x1)(3+x2)(3+x1)(3-x2)=lg9+3(x2-x1)-x1x29+3(x1-x2)-x1x2
因为9+3（x₂+x₁）-x₁x₂＞9-3（x₂+x₁）-x₁x₂＞0，
所以9+3(x2+x1)-x1x29-3(x2+x1)-x1x2＞1，
即f（x₁）-f（x₂）＞0，所以f（x₁）＞f（x₂），即f（x）是（-3，3）上的减函数；
（3）因为f（k-cosθ）+f（cos²θ-k²）≥0且f（x）是（-3，3）上的减函数，
所以f（cos²θ-k²）≥-f（k-cosθ）=f（cosθ-k），
即k＜0-3＜k-cosθ＜3-3＜cos2θ-k2＜3k-cos⁡θ≤k2-cos2θ恒成立．
由k-cosθ≤k²-cos²θ得，k-k²≤cosθ-cos²θ恒成立．
设y=cos⁡θ-cos²θ=-(cosθ-12)2+14．
因为-1≤cosθ≤1，所以-2≤y≤14，
所以k-k²≤-2，解得k≤-1．
同理：由-3＜k-cosθ＜3，
得：-2＜k＜2．
由-3＜cos²θ-k²＜3，得：-3＜k＜3，
即综上所得：-3＜k≤-1．
所以存在这样的k其范围为：-3＜k≤-1．

对数函数的图象与性质知识点讲解,巩固学习

解析

3+x3-x