已知函数f=log2．求证：函数f 在 内单调递增；若关于x 的方程f=x+m 在[1，2]上有解，求m

题文

已知函数f（x）=log₂（2^x+1）．
（1）求证：函数f（x） 在（-7，+∞） 内单调递增；
（2）若关于x 的方程f（x）=x+m 在[1，2]上有解，求m 的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）证明：任取-7＜x₁＜x₂＜+∞，
则f(x1)-f(x2)=log2(2x1+1)-log2(2x2+1)=log22x1+12x2+1，…（4分）
∵x₁＜x₂，∴0＜2x1+1＜2x2+1 
∴0＜2x1+12x2+1＜1，log22x1+12x2+1＜0 
∴f（x₁）＜f（x₂），…（7分）
所以，函数f（x） 在（-7，+∞） 内单调递增．…（8分）
（2）m=log₂（2^x+1）-x=log₂（2^x+1）-log₂2^x=log2(1+12x)，…（11分）
当1≤x≤2 时，14≤12x≤12，54≤1+12x≤32 …（13分）
∴log2(54)≤log2(1+12x)≤log2(32)，即log2(54)≤m≤log2(32) …（15分）
所以，m 的取值范围是(log254 ， log232) …（16分）

对数函数的图象与性质知识点讲解,巩固学习

解析

2x1+12x2+1