题文
已知函数f(x)=1-3x1+3x+log31-x1+x．（1）求函数f（x）的定义域；
（2）判断函数f（x）的奇偶性，并证明你的结论；
（3）若f（1+m）+f（m）＜0，求实数m的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）使解析式有意义的条件为1+3x≠01-x1+x＞0⇔-1＜x＜1，
∴函数的定义域为x∈（-1，1）（4分）
（2）函数的定义域关于原点对称，
且f(-x)+f(x)=1-3-x1+3x+log31+x1-x+1-3x1+3x+log31-x1+x，（6分）
=3x-13x+1+log31+x1-x+1-3x1+3x+log31-x1+x=0+log31=0（7分）
即f（-x）+f（x）=0
∴f（-x）=-f（x）
∴f（x）为奇函数 （8分）
（3）设-1＜x1＜x2＜1，则y2-y1=1-3x21+3x2+log31-x21+x2-1-3x11+3x1-log31-x11+x1（9分）
=1-3x21+3x2-1-3x11+3x1+log31-x21+x2-log31-x11+x1=(1-3x2)(1+3x1)-(1+3x2)(1-3x1)(1+3x2)(1+3x1)+log31-x21+x2•1+x11-x1=1-3x2+3x1-3x1+x2-1-3x2+3x1+3x1+x2(1+3x2)(1+3x1)+log31+x11+x2•1-x21-x1
=2(3x1-3x2)(1+3x2)(1+3x1)+log31+x11+x2•1-x21-x1∵-1＜x1＜x2＜1∴3x1-3x2＜0，1+x11+x2＜1，1-x21-x1＜1，log31+x11+x2•1-x21-x1＜0∴y2-y1＜0
所以f（x）在（-1，1）上为减函数，（12分）
又∵f（1+m）+f（m）＜0
∴f（1+m）＜-f（m）f（1+m）＜f（-m）
⇒1+m＞-m-1＜1+m＜1-1＜-m＜1⇒-12＜m＜0．（14分）
对数函数的图象与性质知识点讲解,巩固学习
解析
1+3x≠01-x1+x＞0
