已知函数f(x)=loga(x2+m+x)，(a＞0，a≠1)为奇函数，1）求实数m的值；2）求f的反函数f-1；3）若两个函数F与G在

题文

已知函数f(x)=loga(x2+m+x)，(a＞0，a≠1)为奇函数，
1）求实数m的值；
2）求f（x）的反函数f^-1（x）；
3）若两个函数F（x）与G（x）在[p，q]上恒满足|F（x）-G（x）|＞2，则称函数F（x）与G（x）在[p，q]上是分离的．试判断函数f（x）的反函数f^-1（x）与g（x）=a^x在[1，2]上是否分离？若分离，求出a的取值范围；若不分离，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

1）f（x）为奇函数⇒f（x）+f（-x）=0⇒m=1
2）ay=x2+1+x
∴（a^y-x）²=x²+1
即x=12（ay-1ay）
∴f-1(x)=12(ax-1ax)，x∈R
3）f-1(x)=12(ax-1ax)
记h(ax)=|f-1(x)-g(x)|=12(ax+1ax)
假设f^-1（x）与g（x）在[1，2]是分离的，，则h（a^x）＞2在x∈[1，2]上恒成立，
即 h（a^x）_min＞2．
①当a＞1时，x∈[1，2]，a^x∈[a，a²]，h（a^x）在a^x∈[a，a²]上单调递增，h(ax)min=h(a)=12(a+1a)＞2⇒a＞2+3；
②当0＜a＜1时，x∈[1，2]，a^x∈[a²，a]，h（a^x）在a^x∈[a²，a]上单调递减，h(ax)min=h(a)=12(a+1a)＞2⇒0＜a＜2-3；
故a的取值范围是：(0，2-3)∪(2+3，+∞)．

对数函数的图象与性质知识点讲解,巩固学习

解析

x2+1