已知f=lg2xax+b，f=0，当x＞0时，恒有f-f=lgx．求f的解析式；若方程f=lg的解集

题文

已知f（x）=lg2xax+b，f（1）=0，当x＞0时，恒有f（x）-f（1x）=lgx．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若方程f（x）=lg（m+x）的解集是∅，求实数m的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵当x＞0时，恒有f（x）-f（1x）=lgx，∴lg2xax+b-lg 2bx+a=lgx，∴（a-b）x²-（a-b）x=0．
∵x≠0，∴a-b=0，即 a=b．
再由f（1）=0 可得a+b=2，∴a=b=1，
∴f（x）=lg 2xx+1．
（2）由方程 lg 2xx+1=lg（m+x）可得 2xx+1=m+x2xx+1＞0，即 x2+(m-1)x+m=0x＞0 ，或x＜-1．
方程f（x）=lg（m+x）的解集是∅，故有两种情况：①方程x²+（m-1）x+m=0无解，
∴△＜0，解得3-22＜m＜3+22．
②方程x²+（m-1）x+m=0有解，且两根都在[-1，0]内，令g（x）=x²+（m-1）x+m，
则有△≥0g(-1)≥0g(0)≥0-1≤1-m2≤0即m≤3-22或m≥3+221≤m≤3，无解．
综合①、②，实数m的取值范围是（3-22 ，3+22 ）．

对数函数的图象与性质知识点讲解,巩固学习

解析

1x