设定义域都为[2，8]的两个函数f和g的解析式分别为f(x)=log2x4和g(x)=log4x2，求函数F=f+g的值域；

题文

设定义域都为[2，8]的两个函数f（x）和g（x）的解析式分别为f(x)=log2x4和g(x)=log4x2，
（1）求函数F（x）=f（x）+g（x）的值域；
（2）求函数G（x）=f（x）•g（x）的值域． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由已知及对数的运算性质可得，F(x)=f(x)+g(x)=log2x4+log4x2=log2x-log24+log4x-log42
=log2x-2+12log2x-12=32log2x-52，x∈[2，8]，-----（2分）
因为2≤x≤8，且log₂x的值随着x的增大而增大，----------（3分）
所以log22≤log2x≤log28，即12≤log2x≤3，--------（4分）
故-74≤32log2x-52≤2，即-74≤F(x)≤2---------------（5分）
所以函数F（x）的值域为[-74，2]---------------------（6分）
（2）由已知及对数的运算性质可得，G(x)=f(x)•g(x)=log2x4•log4x2=(log2x-2)•(12log2x-12)
=12(log2x)2-32log3x+1，x∈[2，8]，--------（8分）
令t=log2x，x∈[2，8]，则有12≤t≤3，
于是有函数y=12t2-32t+1，t∈[12，3]，
所以ymin=4×12×1-(-32)24×12=-18，ymax=max{12×(12)2-32×12+1，12×32-32×3+1}=max{38，1}=1--------（11分）
因此-18≤y≤1，即-18≤G(x)≤1，
所以函数G（x）的值域为[-18，1]．-----------（12分）

对数函数的图象与性质知识点讲解,巩固学习

解析

x4