已知f(x)=log21-x1+x判断函数f的奇偶性，并加以证明；若a，b∈，证明：f(a)+f(b)=f(a+b

题文

已知f(x)=log21-x1+x（-1＜x＜1）
（1）判断函数f（x）的奇偶性，并加以证明；
（2）若a，b∈（-1，1），证明：f(a)+f(b)=f(a+b1+ab)；
（3）证明对任意常数k∈R，f（x）=k有且仅有一解． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）f(-x)=log21+(-x)1-(-x)=log21-x1+x=log2(1+x1-x)-1=-log21+x1-x=-f(x)
又x∈（-1，1），所以函数f（x）是奇函数
（2）若a、b∈（-1，1），f（a）+f（b）=lg 1-a1+a+lg 1-b1+b=lg 1-a-b+ab1+a+b+ab，
f（ a+b1+ab）=lg 1-a+b1+ab1+a+b1+ab=lg 1+ab-a-b1+ab+a+b，∴f（a）+f（b）=f（ a+b1+ab）．
（3）设-1＜x＜1，△x=x₂-x₁＞0，△y=f(x2)-f(x1)=log21+x21-x2-log21+x11-x1=log2(1-x1)(1+x2)(1+x1)(1-x2)
因为1-x₁＞1-x₂＞0；1+x₂＞1+x₁＞0所以 (1-x1)(1+x2)(1+x1)(1-x2)＞1
所以 △y=log2(1-x1)(1+x2)(1+x1)(1-x2)＞0所以函数 f(x)=log21+x1-x在（-1，1）上是增函数．
从而对任意常数k∈R，f（x）=k有且仅有一解．

对数函数的图象与性质知识点讲解,巩固学习

解析

1+(-x)1-(-x)