已知函数f=log3的图象经过点A和B，记an=3 f，n∈N*．求数列{an}的通项公式；设bn=an

题文

已知函数f（x）=log₃（ax+b）的图象经过点A（2，1）和B（5，2），记an=3 ^f（n），n∈N^*．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设bn=an2n，T_n=b₁+b₂+…+b_n，若T_n＜m（m∈Z）对n∈N^*恒成立，求m的最小值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（本题满分14分）
（1）由题意得log3(2a+b)=1log3(5a+b)=2，解得a=2b=-1，…（3分）
∴f（x）=log₃（2x-1）
∴an=3log3(2n-1)=2n-1，n∈N*…（6分）
（2）由（1）得bn=2n-12n，
∴Tn=121+322+523+…+2n-32n-1+2n-12n①
12Tn= 122+323+…+2n-52n-1+2n-32n+2n-12n+1②
两式相减可得
12Tn=121+222+223+…+22n-1+22n-2n-12n+1=121+(121+122+…+12n-2+12n-1)-2n-12n+1
=32-12n-1-2n-12n+1．
∴Tn=3-12n-2-2n-12n=3-2n+32n，…（10分）
设f(n)=2n+32n，n∈N*，则由f(n+1)f(n)=2n+52n+12n+32n=2n+52(2n+3)=12+12n+3≤12+15＜1
得f(n)=2n+32n，n∈N*随n的增大而减小，T_n随n的增大而增大．
∴当n→+∞时，T_n→3
又T_n＜m（m∈Z）恒成立，∴m_min=3…（14分）

对数函数的图象与性质知识点讲解,巩固学习

解析

log3(2a+b)=1log3(5a+b)=2