已知函数f=2x-1的反函数为f-1，g=log4用定义证明f-1在定义域上的单调性；若f-1≤g（

题文

（理）已知函数f（x）=2^x-1的反函数为f^-1（x），g（x）=log₄（3x+1）
（1）用定义证明f^-1（x）在定义域上的单调性；
（2）若f^-1（x）≤g（x），求x的取值集合D；
（3）设函数H（x）=g（x）-12f^-1（x），当x∈D时，求函数H（x）的值域． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）函数f（x）的值域为（-1，+∞），由y=2^x-1，得 x=log₂（y+1），
所以f^-1（x）=log₂（x+1）（x＞-1），任取-1＜x₁＜x₂，
f^-1（x₁）-f^-1（x₂）=log₂（x₁+1）-log₂（x₂+1）=log₂x1+1x2+1，
由-1＜x₁＜x₂得0＜x₁+1＜x₂+1，因此0＜x1+1x2+1＜1，得 log₂x1+1x2+1＜0，
所以f^-1（x₁）＜f^-1（x₂），故f^-1（x）在（-1，+∞）上为单调增函数．
（2）f^-1（x）≤g（x） 即：log₂（x+1）≤log₄（3x+1）⇔x+1＞03x+1＞0(x+1)2≤3x+1⇔x+1＞0(x+1)2≤3x+1，
解之得0≤x≤1，所以D=[0，1]．
（3）H（x）=g（x）-12f^-1（x）=log₄（3x+1）-12log₂（x+1）=12log23x+1x+1=12log2(3-2x+1)，
由0≤x≤1，得1≤3-2x+1≤2，所以0≤log₂（3-2x+1）≤12，因此函数H（x）的值域为[0，12]．

对数函数的图象与性质知识点讲解,巩固学习

解析

x1+1x2+1