已知函数f的定义域是{x|x∈R，x≠k2，k∈Z}且f+f=0，f(x+1)=-1f(x)，当0＜x＜12时，f=3x．求证

题文

已知函数f（x）的定义域是{x|x∈R，x≠k2，k∈Z}且f（x）+f（2-x）=0，f(x+1)=-1f(x)，当0＜x＜12时，f（x）=3^x．
（1）求证：f（x）是奇函数；
（2）求f（x）在区间(2k+12，2k+1)(k∈Z）上的解析式；
（3）是否存在正整数k，使得当x∈(2k+12，2k+1)时，不等式log₃f（x）＞x²-kx-2k有解？证明你的结论． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由f(x+1)=-1f(x)得f(x+2)=-1f(x+1)=f(x)，（3分）
由f（x）+f（2-x）=0得f（x）+f（-x）=0，（4分）
故f（x）是奇函数．（5分）
（2）当x∈(12，1)时，1-x∈(0，12)，
∴f（1-x）=3^1-x．     （7分）
而f(1-x)=-1f(-x)=1f(x)，
∴f（x）=3^x-1．       （9分）
当x∈(2k+12，2k+1)(k∈Z）时，x-2k∈(12，1)，
∴f（x-2k）=3^x-2k-1，
因此f（x）=f（x-2k）=3^x-2k-1．                      （11分）
（3）不等式log₃f（x）＞x²-kx-2k即为x-2k-1＞x²-kx-2k，
即x²-（k+1）x+1＜0．                          （13分）
令g（x）=x²-（k+1）x+1，对称轴为x=k+12＜2k+12，
因此函数g（x）在(2k+12，2k+1)上单调递增．         （15分）
因为g(2k+12)=(2k+12)2-(k+1)(2k+12)+1=(2k+12)(k-12)+1，又k为正整数，
所以g(2k+12)＞0，因此x²-（k+1）x+1＞0在(2k+12，2k+1)上恒成立，（17分）
因此不存在正整数k使不等式有解．                     （18分）

对数函数的图象与性质知识点讲解,巩固学习

解析

1f(x)