已知f=log2，当点在函数y=f的图象上运动时，点(x3，y2)在函数y=g的图象上运动．求函数y=g的解析

题文

已知f（x）=log₂（x+1），当点（x，y）在函数y=f（x）的图象上运动时，点(x3，y2)在函数y=g（x）的图象上运动．
（1）求函数y=g（x）的解析式．
（2）求使g（x）＞f（x）的x的取值范围．
（3）在（2）的范围内，求y=g（x）-f（x）的最大值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）令（a，b）点是函数y=g（x）的图象上的动点
则a=x3，b=y2，则x=3a，y=2b，
∵点（x，y）在函数y=f（x）的图象上
∴（x，y）满足函数f（x）=log₂（x+1），
即2b=log₂（3a+1），
即b=log₂3a+1，
故函数y=g（x）=log₂3x+1（x＞-13），
（2）若g（x）＞f（x）
即log₂（x+1）＜log₂3x+1
即（x+1）²＜3x+1
解得0＜x＜1
（3）∵（Ⅲ）因为0≤x≤1，
所以g(x)-f(x)=12log23x+1(x+1)2=12log29(3x+1)+43x+1+4≤12log298．
当且仅当3x+1=2时，即 x=13时等号成立，
故g（x）-f（x）在[0，1]上的最大值为12log298

对数函数的图象与性质知识点讲解,巩固学习

解析

x3