已知函数f(x)=logmx-3x+3，x∈[α，β]，．证明：a＞3；问是否存在实数m，使得自变量x在定义域[α，β]上取值时，该函

题文

已知函数f(x)=logmx-3x+3，x∈[α，β]，（其中a＞0）．
（1）证明：a＞3；
（2）问是否存在实数m，使得自变量x在定义域[α，β]上取值时，该函数的值域恰好为[log_m（mβ-m），log_m（mα-m）]，若存在，求出实数m的取值范围，若不存在，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）x-3x+3＞0⇔x＜-3，或x＞3，
∵f（x）定义域为[α，β]且α＞0，
∴α＞3．                                                  …（2分）
（2）∵3＜α＜β，m＞0，
∴m（α-1）＜m（β-1），而log_a m（α-1）＜log_am（β-1），
∴0＜m＜1，…（4分）
设β≥x₁＞x₂≥α，有x1-3x1+3-x2-3x2+3=6(x1-x2)(x1+3)(x2+3)＞0，
∴当0＜m＜1时，f（x）在[α，β]上单调递减．                  …（7分）
又f（x）在[α，β]上的值域为[log_m（mβ-m），log_m（mα-m）]，
∴f(β)=logmβ-3β+3=logm(mβ-m)f(α)=logmα-3α+3=logm(mα-m)
即mβ2+(2m-1)β-3(m-1)=0mα2+(2m-1)α-3(m-1)=0又β＞α＞3，…（10分）
即α，β是方程mx²+（2m-1）x-3（m-1）=0大于3的两个不相等的实数根，…（11分）
∴0＜m＜1△=16m2-16m+1＞0-2m-12m＞3mf(3)＞0   解之得0＜m＜2-34，…（15分）
因此，当0＜m＜2-34时，满足题意条件的m存在．        …（16分）

对数函数的图象与性质知识点讲解,巩固学习

解析

x-3x+3