已知函数f(x)=lg2xax+b，f(1)=0，当x＞0时，恒有f(x)-f(1x)=lgx求f的表达式；设不等式f≤lgt的解集为A

题文

已知函数f(x)=lg2xax+b，f(1)=0，当x＞0时，恒有f(x)-f(1x)=lgx
（1）求f（x）的表达式；
（2）设不等式f（x）≤lgt的解集为A，且A⊆（0，4]，求实数t的取值范围．
（3）若方程f（x）=lg（8x+m）的解集为∅，求实数m的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵当x＞0时，f(x)-f(1x)=lgx恒成立
∴lg2xax+b-lg2bx+a=lgx，
即（a-b）x²-（a-b）x=0恒成立，
∴a=b（2分）
又f（1）=0，即a+b=2，从而a=b=1，
∴f(x)=lg2x1+x（4分）
（2）由不等式f（x）≤lgt，
即lg2x1+x≤lgt⇒(2-t)x-t1+x≤0且2x1+x＞0（6分）
由于解集A⊆（0，4]，故0＜t＜2，（7分）
所以A=(0，t2-t]⊆(0，4]即t2-t≤4⇒t≤85，（8分）
又因为0＜t＜2，所以实数t的取值范围是(0，85]（10分）
（3）由lg2x1+x=lg(8x+m)⇒2x1+x=8x+m2x1+x＞0⇒8x2+(6+m)x+m=0x＜-1或x＞0（12分）
方程的解集为∅，故有两种情况：
①方程8x²+（6+m）x+m=0无解，即△＜0，得2＜m＜18（14分）
②方程8x²+（6+m）x+m=0有解，两根均在[-1，0]内，g（x）=8x²+（6+m）x+m
则△≥0g(-1)≥0g(0)≥0-1≤-6-m16≤0⇒m≤2或m≥18-6≤m≤10⇒0≤m≤2（17分）
综合①②得实数m的取值范围是0≤m＜18（18分）

对数函数的图象与性质知识点讲解,巩固学习

解析

1x