已知函数f=-x3+ax2+b．若函数y=f的图象上任意不同的两点的连线的斜率小于1，求证：-3＜a＜3．若x∈[0，1]

题文

已知函数f（x）=-x³+ax²+b（a，b∈R）．
（1）若函数y=f（x）的图象上任意不同的两点的连线的斜率小于1，求证：-3＜a＜3．
（2）若x∈[0，1]，则函数y=f（x）的图象上的任意一点的切线的斜率为k，求证：1≤a≤3是|k|≤1成立的充要条件． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设函数y=f（x）的图象上任意不同的两点P₁（x₁，y₁）、P₂（x₂，y₂），
不妨设x₁＞x₂，
则y1-y2x1-x2＜1，即-x13+ax12+x23-ax22x1-x2＜1，
∴-(x1-x2)(x21+x1x2+x22)+a(x1-x2)(x1+x2)x1-x2＜1
整理得：x₁²+（x₂-a）x₁+x₂²-ax₂+1＞0
∵x₁∈R
∴△=（x₂-a）²-4（x₂²-ax₂+1）＜0即3x₂²-2ax₂-a²+4＞0
∵x₂∈R
∴△=4a²-12（-a²+4）＜0即a²-3＜0
∴-3＜a＜3
（2）k=f'（x）=-3x²+2ax，则当x∈[0，1]时，|k|≤1⇔-1≤-3x²+2ax≤1
⇔0≤a3≤1|f′(1)|=|-3+2a|≤1|f(a3)|=a23≤1或a3＞1|f′(1)|=-3+2a≤1或a3＜0|f′(1)|=|-3+2a|≤1
解得：1≤a≤3，故|k|≤1成立的充要条件是1≤a≤3．

充分条件与必要条件知识点讲解,巩固学习

解析

y1-y2x1-x2

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=-x3+ax2+b（a.....”主要考查你对 [充分条件与必要条件 ]考点的理解。 充分条件与必要条件 1、充分条件与必要条件：一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q，这时，我们就说，由p可推出q，记作

，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件；
2、充要条件：一般地，如果既有

，又有

，就记作

，此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件。
概括的说，如果

，那么p与q互为充要条件。
3、充分不必要条件、必要不充分条件、既不充分也不必要条件：
①充分不必要条件：如果

，且p

q，则说p是q的充分不必要条件；
②必要不充分条件：如果p

q，且

，则说p是q的必要不充分条件；
③既不充分也不必要条件：如果p

q，且p

q，则说p是q的既不充分也不必要条件。