已知a为实数，函数f=x2-2alnx．求f在[1，+∞）上的最小值g；若a＞0，试证明：“方程f=2ax有唯一解”的充要条

题文

已知a为实数，函数f（x）=x²-2alnx．
（1）求f（x）在[1，+∞）上的最小值g（a）；
（2）若a＞0，试证明：“方程f（x）=2ax有唯一解”的充要条件是“a=12”．题型：未知难度：其他题型

答案

（1）求导函数，可得f′(x)=2•x2-ax（x＞1）
①a≤1，x＞1，则f′（x）＞0，∴f（x）在[1，+∞）上是单调递增函数，∴f（x）_min=f（1）=1；
②a＞1，x＞1，令f′（x）=0，可得x=a
当x∈(1，a)时，f′（x）＜0，函数在[1，+∞）上是单调递减函数；当x∈(a，+∞)时，f′（x）＞0，函数在[1，+∞）上是单调递增函数，
∴x=a时，f（x）_min=a-alna
∴g(a)=1，a≤1a-alna，a＞1；
（2）证明：记g（x）=f（x）-2ax=x²-2alnx-2ax，则g′(x)=2x(x2-ax-1)
①充分性：若a=12，则g（x）=x²-lnx-x，g′(x)=1x(2x+1)(x-1)
当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，g（x）在（0，1）上是单调递减函数；
当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）在（1，+∞）上是单调递增函数，
∴当x=1时，g（x）_min=g（1）=0，即g（x）≥0，当且仅当x=1时取等号，
∴方程f（x）=2ax有唯一解；
②必要性：若方程f（x）=2ax有唯一解，即g（x）=0有唯一解，令g′（x）=0，可得x²-ax-a=0，
∵a＞0，x＞0，∴x1=a+a2+4a2（另一根舍去）
当x∈（0，x₁）时，g′（x）＜0，g（x）在（0，x₁）上是单调递减函数；
当x∈（x₁，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）在（x₁，+∞）上是单调递增函数．
∴当x=x₂时，g′（x₁）=0，g（x）_min=g（x₁），∵g（x）=0有唯一解，∴g（x₁）=0，
∴g(x1)=0g′(x1)=0
∴x12-2alnx1-2ax1=0x12-ax1-a=0
∴2alnx₁+ax₁-a=0
∵a＞0
∴2lnx₁+x₁-1=0
设函数h（x）=2lnx+x-1
∵x＞0时，h（x）是增函数，∴h（x）=0至多有一解．
∵h（1）=0，∴方程2lnx₁+x₁-1=0的解为x₁=1，即x1=a+a2+4a2=1，∴a=12
由①②知，“方程f（x）=2ax有唯一解”的充要条件是“a=12”．

充分条件与必要条件知识点讲解,巩固学习

解析

x2-ax

考点

据考高分专家说，试题“已知a为实数，函数f（x）=x2-2al.....”主要考查你对 [充分条件与必要条件 ]考点的理解。充分条件与必要条件 1、充分条件与必要条件：一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q，这时，我们就说，由p可推出q，记作