已知函数f=lg[H]，且H=x2+3x+6x+1，求函数f的定义域；求函数f在区间[2，4]上的最小值；已知m

题文

已知函数f（x）=lg[H（x）]，且H（x）=x2+3x+6x+1，
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）求函数f（x）在区间[2，4]上的最小值；
（3）已知m∈R，命题p：关于x的不等式H（x）≥m²+2m-3对函数f（x）的定义域上的任意x恒成立；命题q：指数函数y=（m²-1）^x是增函数．若“p或q”为真，“p且q”为假，求实数m的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由x2+3x+6x+1＞0，x²+3x+6＞0恒成立得：x+1＞0即x＞-1，
∴f（x）的定义域为：（-1，+∞）．
（2）由H（x）=x2+3x+6x+1=(x+1)2+(x+1)+4x+1=x+1+4x+1+1，x∈[2，4]得：
H（x）在[2，4]上单调递增；
∴H（x）=x+1+4x+1+1≥H（2）=163，
∴f（x）_min=lg[H（x）_min]=lg163-4lg2-lg3；
（3）由在函数f（x）的定义域上 的任意x，H（x）=x+1+4x+1+1≥2(x+1)•4x+1+1=5，当且仅当x+1=4x+1，即x=1时等号成立．
当命题p为真时，m²+2m-3≤5即-4≤m≤2；而命题q为真时：指数函数m²-1＞1，即m＞2或m＜-2．
因为“p或q”为真，“p且q”为假，所以
当命题p为真，命题q为假时，{m|-4≤m≤2}∩{m|-2≤m≤2}={m|-2≤m≤2}；
当命题p为假，命题q为真时，{m|m＜-4或m＞2}∩{m|m＜-2或m＞2}={m|m＜-4或m＞2}，
所以m的取值范围为：（-∞，-4）∪[-2，2]∪（2，+∞）．

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解析

x2+3x+6x+1

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=lg[H（x）]，且H.....”主要考查你对 [四种命题及其相互关系 ]考点的理解。 四种命题及其相互关系

1、四种命题：

一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，用或分别表示p和q的否定，
四种命题的形式是：
（1）原命题：若p则q；
（2）逆命题：若q则p；
（3）否命题：若则；
（4）逆否命题：若则。

2、四种命题的真假关系：

一个命题与它的逆否命题是等价的，其逆命题与它的否命题也是等价的；

3、四种命题的相互关系：

注意：

1、区别“否命题”与“命题的否定”，若原命题是“若p则q”，则这个命题的否定是“若p则非q”，而它的否命题是“若非p则非q”。

2、互为逆否命题同真假，即“等价”