命题p：方程x2-x+a2-6a=0有一正根和一负根．命题q：函数y=x2+x+1的图象与x轴有公共点．若命题“p∨q”为真命题，而命题“p∧q”为假

题文

命题p：方程x²-x+a²-6a=0有一正根和一负根．
命题q：函数y=x²+（a-3）x+1的图象与x轴有公共点．若命题“p∨q”为真命题，而命题“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

若方程x²-x+a²-6a=0有一正根和一负根，则△=1-4(a2-6a)＞0x1x2=a2-6a＜0，解得0＜a＜6．
即p：0＜a＜6．
若函数y=x²+（a-3）x+1的图象与x轴有公共点．则判别式△≥0，
即（a-3）²-4≥0，解得a≥5或a≤1．
即q：a≥5或a≤1．
命题“p∨q”为真命题，而命题“p∧q”为假命题，
则命题p，q为一真，一假．
若p真q假，则1＜a＜5．
若p假q真，则a≥6或a≤0．
综上实数a的取值范围是a≥6或a≤0或1＜a＜5．

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解析

△=1-4(a2-6a)＞0x1x2=a2-6a＜0

考点

据考高分专家说，试题“命题p：方程x2-x+a2-6a=0有一.....”主要考查你对 [四种命题及其相互关系 ]考点的理解。 四种命题及其相互关系

1、四种命题：

一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，用或分别表示p和q的否定，
四种命题的形式是：
（1）原命题：若p则q；
（2）逆命题：若q则p；
（3）否命题：若则；
（4）逆否命题：若则。

2、四种命题的真假关系：

一个命题与它的逆否命题是等价的，其逆命题与它的否命题也是等价的；

3、四种命题的相互关系：

注意：

1、区别“否命题”与“命题的否定”，若原命题是“若p则q”，则这个命题的否定是“若p则非q”，而它的否命题是“若非p则非q”。

2、互为逆否命题同真假，即“等价”