设命题P：“任意x∈R，x2-2x＞a”，命题Q“存在x∈R，x2+2ax+2-a=0”；如果“P或Q”为真，“P且Q”为假，求a的取值范围．

题文

设命题P：“任意x∈R，x²-2x＞a”，命题Q“存在x∈R，x²+2ax+2-a=0”；如果“P或Q”为真，“P且Q”为假，求a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

由命题 P：“任意x∈R，x²-2x＞a”，可得x²-2x-a＞0恒成立，故有△=4+4a＜0，a＜-1．
由命题Q：“存在x∈R，x²+2ax+2-a=0”，可得△′=4a²-4（2-a）=4a²+4a-8≥0，
解得 a≤-2，或 a≥1．
再由“P或Q”为真，“P且Q”为假，可得 p真Q假，或者 p假Q真．
故有 a＜-1-2＜a＜1，或 a≥-1a≤-2 ，或a≥1．
求得-2＜a＜-1，或 a≥1，即 a＞-2．
故a的取值范围为（-2，+∞）．

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解析

a＜-1-2＜a＜1

考点

据考高分专家说，试题“设命题P：“任意x∈R，x2-2x＞a”.....”主要考查你对 [四种命题及其相互关系 ]考点的理解。 四种命题及其相互关系

1、四种命题：

一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，用或分别表示p和q的否定，
四种命题的形式是：
（1）原命题：若p则q；
（2）逆命题：若q则p；
（3）否命题：若则；
（4）逆否命题：若则。

2、四种命题的真假关系：

一个命题与它的逆否命题是等价的，其逆命题与它的否命题也是等价的；

3、四种命题的相互关系：

注意：

1、区别“否命题”与“命题的否定”，若原命题是“若p则q”，则这个命题的否定是“若p则非q”，而它的否命题是“若非p则非q”。

2、互为逆否命题同真假，即“等价”