若等比数列{an}的前n项和为Sn=3•2n+a，求实数a的值；对于非常数列{an}有下面的结论：若数列{an}为等比数列，则该数列的前n项和为Sn

题文

（1）若等比数列{a_n}的前n项和为S_n=3•2ⁿ+a，求实数a的值；
（2）对于非常数列{a_n}有下面的结论：若数列{a_n}为等比数列，则该数列的前n项和为S_n=Aa_n+B（A，B为常数）．判断它的逆命题是真命题还是假命题，并说明理由．
（3）若数列{a_n}为等差数列，则该数列的前n项和为Sn=n(a1+an)2．对其逆命题进行研究，写出你的结论，并说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）a₁=6+a，（1分）
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=3•2ⁿ-3•2^n-1=3•2^n-1（2分），
因为数列{a_n}为等比数列，所以a₁满足a_n的表达式，即6+a=3•2⁰，a=-3；（4分）
（2）逆命题：数列{a_n}是非常数数列，若其前n项和S_n=Aa_n+B（A，B为常数），则该数列是等比数列
判断：是假命题． （7分）
直接举反例，当A=0，B≠0时，数列{a_n}为：B，0，0，0，
故其前n项和满足S_n=Aa_n+B（A，B为常数），但不是等比数列；（10分）
（3）逆命题：若数列{a_n}的前n项和Sn=n(a1+an)2，则该数列是等差数列．
为真命题． （12分）
证明：n=3时，由2（a₁+a₂+a₃）=3a₁+3a₃⇒2a₂=a₁+a₃，命题成立，（13分）
假设n=k，（k≥3），Sk=k(a1+ak)2时，数列{a_n}是等差数列，
当n=k+1时，2（S_k+a_k+1）=（k+1）（a₁+a_k+1），设a_k=a₁+（k-1）d
则（k-1）a_k+1=（k-1）（a₁+kd）…（16分）a_k+1=a₁+kd，即当n=k+1时，命题成立，（17分）
由数学归纳法可知，逆命题成立．（18分）

点击查看四种命题及其相互关系知识点讲解,巩固学习

解析

n(a1+an)2

考点

据考高分专家说，试题“（1）若等比数列{an}的前n项和为Sn.....”主要考查你对 [四种命题及其相互关系 ]考点的理解。 四种命题及其相互关系

1、四种命题：

一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，用或分别表示p和q的否定，
四种命题的形式是：
（1）原命题：若p则q；
（2）逆命题：若q则p；
（3）否命题：若则；
（4）逆否命题：若则。

2、四种命题的真假关系：

一个命题与它的逆否命题是等价的，其逆命题与它的否命题也是等价的；

3、四种命题的相互关系：

注意：

1、区别“否命题”与“命题的否定”，若原命题是“若p则q”，则这个命题的否定是“若p则非q”，而它的否命题是“若非p则非q”。

2、互为逆否命题同真假，即“等价”