若命题p：∀x∈[1，3]，x2-2ax+5＞0是假命题，则实数a的取值范围是______．

题文

若命题p：∀x∈[1，3]，x²-2ax+5＞0是假命题，则实数a的取值范围是______． 题型：未知 难度：其他题型

答案

∵命题p：∀x∈[1，3]，x²-2ax+5＞0是假命题，
∴∃x∈[1，3]，使得x²-2ax+5≤0，可得，图象开口向上，△=（-2a）²-4×5=4a²-20；
y=x²-2ax+5，令y=0，方程的两个根，得x₁=a+124a2-20，x₂=a-124a2-20
要使∴∃x∈[1，3]，使得x²-2ax+5≤0，
只要有一个根在[1，3]之间就可以，
可得：△＞01≤x1≤3或△＞01≤x2≤3
解得：73≤a≤3
若△=0，可得a=±5，
当a=-5，可得方程的根为x=-5，不满足，题意；
当a=5，可得方程的根为x=5，方程存在根x=5使得x²-2ax+5=0，符合题意；
综上：实数a的取值范围是{5}∪[73，3]；
故答案为{5}∪[73，3]；

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解析

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考点

据考高分专家说，试题“若命题p：∀x∈[1，3]，x2-2ax.....”主要考查你对 [四种命题及其相互关系 ]考点的理解。 四种命题及其相互关系

1、四种命题：

一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，用或分别表示p和q的否定，
四种命题的形式是：
（1）原命题：若p则q；
（2）逆命题：若q则p；
（3）否命题：若则；
（4）逆否命题：若则。

2、四种命题的真假关系：

一个命题与它的逆否命题是等价的，其逆命题与它的否命题也是等价的；

3、四种命题的相互关系：

注意：

1、区别“否命题”与“命题的否定”，若原命题是“若p则q”，则这个命题的否定是“若p则非q”，而它的否命题是“若非p则非q”。

2、互为逆否命题同真假，即“等价”