已知：命题p：“对∀x∈[-1，3]，f=x3-12x＞m”；命题q：“函数g=x2-lnx2在[m，0）上是增函数”．若“p或q”为真命题，“p且

题文

已知：命题p：“对∀x∈[-1，3]，f（x）=x³-12x＞m”；命题q：“函数g（x）=x²-lnx²在[m，0）上是增函数”．若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题．求实数m的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

∵f（x）=x³-12x，∴f'（x）=3x²-12=3（x+2）（x-2），
当x∈[-1，3]时，f（x）在[-1，2]上递减，在[2，3]上递增
∴f（x）在x∈[-1，3]上的最小值为f（2）=-16               …（3分）
∴命题p：“对∀x∈[-1，3]，f（x）=x³-12x＞m”为真时，m的取值范围为m＜-16．…（6分）
又，函数g（x）=x²-lnx²的定义域为{x|x≠0}，且g（x）为偶函数
当x＞0时，g（x）=x²-2lnx，g′(x)=2x-2x=2x2-2x=2(x2-1)x，
当0＜x＜1时，g'（x）＜0   当x＞1时，g'（x）＞0
所以，g（x）=x²-lnx²的单调增区间为[-1，0）和（1，+∞）；     …（8分）
其单调减区间为（-∞，-1]和（0，1]．
∴命题q：“函数g（x）=x²-lnx²在[m，0）上是增函数”为真时，m的取值范围为-1≤m＜0，…（9分）
而由“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，得p，q中只能是一真一假．           …（10分）
（1）若p真而q假，则m的取值范围是“m＜-16”且“m＜-1或m≥0”，得m＜-16      …（12分）
（2）若p假而q真，则m的取值范围是m≥-16且-1≤m＜0，得-1≤m＜0．…（14分）
所以，所求m的取值范围为m＜-16或m≥-1                      …（15分）

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解析

2x

考点

据考高分专家说，试题“已知：命题p：“对∀x∈[-1，3]，f.....”主要考查你对 [四种命题及其相互关系 ]考点的理解。 四种命题及其相互关系

1、四种命题：

一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，用或分别表示p和q的否定，
四种命题的形式是：
（1）原命题：若p则q；
（2）逆命题：若q则p；
（3）否命题：若则；
（4）逆否命题：若则。

2、四种命题的真假关系：

一个命题与它的逆否命题是等价的，其逆命题与它的否命题也是等价的；

3、四种命题的相互关系：

注意：

1、区别“否命题”与“命题的否定”，若原命题是“若p则q”，则这个命题的否定是“若p则非q”，而它的否命题是“若非p则非q”。

2、互为逆否命题同真假，即“等价”