设命题p：实数x满足x2-4ax+3a2＜0命题q：实数x满足x2-x-6＜0x2+2x-8＞0若a=1，且p∩q为真，求实数x的取值范围

题文

设命题p：实数x满足x²-4ax+3a²＜0（a＞0）命题q：实数x满足x2-x-6＜0x2+2x-8＞0
（1）若a=1，且p∩q为真，求实数x的取值范围
（2）若¬p是¬q的充分不必要条件，求a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

x²-4ax+3a²=0对应的根为a，3a；
由于a＞0，则x²-4ax+3a²＜0的解集为（a，3a），故命题p成立有x∈（a，3a）；
由x²-x-6＜0得x∈（-2，3），
由x²+2x-8＞0得x∈（-∞，-4）∪（2，+∞），
故命题q成立有x∈（2，3）．
（1）a=1时，命题p成立有x∈（1，3），
∵p∩q为真，∴实数x的取值范围是x∈（2，3）；
（2）∵¬p是¬q的充分不必要条件，
∴p是q的必要不充分条件，
∴有（2，3）⊆（a，3a），
∵a＞0
∴a≤23≤3a
∴1≤a≤2．

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解析

a≤23≤3a

考点

据考高分专家说，试题“设命题p：实数x满足x2-4ax+3a2.....”主要考查你对 [四种命题及其相互关系 ]考点的理解。 四种命题及其相互关系

1、四种命题：

一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，用或分别表示p和q的否定，
四种命题的形式是：
（1）原命题：若p则q；
（2）逆命题：若q则p；
（3）否命题：若则；
（4）逆否命题：若则。

2、四种命题的真假关系：

一个命题与它的逆否命题是等价的，其逆命题与它的否命题也是等价的；

3、四种命题的相互关系：

注意：

1、区别“否命题”与“命题的否定”，若原命题是“若p则q”，则这个命题的否定是“若p则非q”，而它的否命题是“若非p则非q”。

2、互为逆否命题同真假，即“等价”