设命题p：∃x0∈R，x02-2ax0+2-a=0，命题q：∀x∈[1，+∞），a≤log16，如果命题p∨q为真命题，命题p∧q为假命题，求实数a

题文

设命题p：∃x₀∈R，x₀²-2ax₀+2-a=0，命题q：∀x∈[1，+∞），a≤log₁₆（3x+1），如果命题p∨q为真命题，命题p∧q为假命题，求实数a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

当命题p为真时，则方程x²-2ax+2-a=0有实根，
即△=4a²-4（2-a）≥0⇒a≥1或a≤-2，
当q为真时，即∀x∈[1，+∞），a≤log₁₆（3x+1）恒成立，
由于f（x）=log₁₆（3x+1）在[1，+∞）上是增函数，
所以f（x）的最小值是log₁₆（3×1+1）=12，
又a≤log₁₆（3x+1）恒成立⇔a≤f（x）_min所以a≤12，
因为命题p∨q为真命题，命题p∧q为假命题，从而p，q中一真一假．
当p真q假时即

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解析

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考点

据考高分专家说，试题“设命题p：∃x0∈R，x02-2ax0+.....”主要考查你对 [四种命题及其相互关系 ]考点的理解。 四种命题及其相互关系

1、四种命题：

一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，用或分别表示p和q的否定，
四种命题的形式是：
（1）原命题：若p则q；
（2）逆命题：若q则p；
（3）否命题：若则；
（4）逆否命题：若则。

2、四种命题的真假关系：

一个命题与它的逆否命题是等价的，其逆命题与它的否命题也是等价的；

3、四种命题的相互关系：

注意：

1、区别“否命题”与“命题的否定”，若原命题是“若p则q”，则这个命题的否定是“若p则非q”，而它的否命题是“若非p则非q”。

2、互为逆否命题同真假，即“等价”