已知数列{an}、{bn}满足：a1=1，a2=a，且，其中n=1，2，3，…求证：“若数列{an}是等比数列，则数列{bn}也是等比数列”是

题文

已知数列{a_n}、{b_n}满足：a₁=1，a₂=a（a为实数），且，其中n=1，2，3，…
（Ⅰ）求证：“若数列{a_n}是等比数列，则数列{b_n}也是等比数列”是真命题；
（Ⅱ）写出（Ⅰ）中命题的逆命题；判断它是真命题还是假命题，并说明理由. 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）证明见解析
（II）逆命题是：若是等比数列，则也是等比数列，是假命题.

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解析

（I）因为是等比数列，
又…………………………………………2分
∴是以a为首项，为公比的等比数列.………………………………6分
（II）（I）中命题的逆命题是：若是等比数列，则也是等比数列，是假命题.
……………………………………………………………8分
设的公比为则
又
是以1为首项，q为公比的等比数列，
是以为首项，q为公比的等比数列.……………………10分
即为1，a，q，aq，q²，aq²，…
但当q≠a²时，不是等比数列
故逆命题是假命题.……………………………………………………………………12分
另解：取a=2，q=1时，
因此是等比数列，而不是等比数列.
故逆命题是假命题.……………………………………………………………………12分

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}、{bn}满足：a1=1.....”主要考查你对 [四种命题及其相互关系 ]考点的理解。 四种命题及其相互关系

1、四种命题：

一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，用或分别表示p和q的否定，
四种命题的形式是：
（1）原命题：若p则q；
（2）逆命题：若q则p；
（3）否命题：若则；
（4）逆否命题：若则。

2、四种命题的真假关系：

一个命题与它的逆否命题是等价的，其逆命题与它的否命题也是等价的；

3、四种命题的相互关系：

注意：

1、区别“否命题”与“命题的否定”，若原命题是“若p则q”，则这个命题的否定是“若p则非q”，而它的否命题是“若非p则非q”。

2、互为逆否命题同真假，即“等价”