已知，对：和是方程的两个根，不等式对任意实数恒成立；：函数有两个零点，求使“且”为真命题的实数的取值范围。

题文

已知

解析

利用二次方程的韦达定理求出|x₁-x₂|，将不等式恒成立转化为求函数的最值，求出命题p为真命题时m的范围；利用二次方程有两个不等根判别式大于0，求出命题Q为真命题时m的范围；P且Q为真转化为两个命题全真，求出m的范围．解：由题设x₁+x₂=a，x₁x₂=-2，∴|x₁-x₂|=


．当a∈[1，2]时，

的最小值为3．要使|m-5|≤|x₁-x₂|对任意实数a∈[1，2]恒成立，只须|m-5|≤3，即2≤m≤8．由已知，得f（x）=3x²+2mx+m+

=0的判别式△=4m²-12（m+

）=4m²-12m-16＞0，得m＜-1或m＞4．综上，要使“p且q”为真命题，只需P真Q真，即2≤m≤8，m＜-1或m＞4，解得实数m的取值范围是（4，8]．
点评：本题考查二次方程的韦达定理、二次方程有根的判断、复合命题的真假与构成其简单命题的真假的关系．

考点

据考高分专家说，试题“已知，对：和是方程的两个根，不等式对任意.....”主要考查你对 [四种命题及其相互关系 ]考点的理解。 四种命题及其相互关系

1、四种命题：

一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，用

或

分别表示p和q的否定，
四种命题的形式是：
（1）原命题：若p则q；
（2）逆命题：若q则p；
（3）否命题：若

则

；
（4）逆否命题：若

则

。

2、四种命题的真假关系：

一个命题与它的逆否命题是等价的，其逆命题与它的否命题也是等价的；

3、四种命题的相互关系：

注意：

1、区别“否命题”与“命题的否定”，若原命题是“若p则q”，则这个命题的否定是“若p则非q”，而它的否命题是“若非p则非q”。

2、互为逆否命题同真假，即“等价”