题文
已知函数f（x）=ln（x+1）-x．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）若x＞-1，证明：1-1x+1≤ln(x+1)≤x． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（-1，+∞）．f'（x）=1x+1-1=-xx+1…（2分）
由f'（x）＜0及x＞-1，得x＞0．
∴当x∈（0，+∞）时，f（x）是减函数，
即f（x）的单调递减区间为（0，+∞）．…4
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，
当x∈（-1，0）时，f'（x）＞0，
当x∈（0，+∞）时，f'（x）＜0，
因此，当x＞-1时，f（x）≤f（0），
即ln（x+1）-x≤0，
∴ln（x+1）≤x．…（6分）
令g(x)=ln(x+1)+1x+1-1，
则g′(x)=1x+1-1(x+1)2=x(x+1)2．…（8分）
∴当x∈（-1，0）时，g'（x）＜0，
当x∈（0，+∞）时，g'（x）＞0．…10
∴当x＞-1时，g（x）≥g（0），
即 ln(x+1)+1x+1-1≥0，
∴ln(x+1)≥1-1x+1．
综上可知，当x＞-1时，
有1-1x+1≤ln(x+1)≤x．…（12分）
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解析
1x+1考点
据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=ln（x+1）-x．（.....”主要考查你对 [对数函数的解析式及定义（定义域、值域） ]考点的理解。 对数函数的解析式及定义（定义域、值域）对数函数的定义：
一般地，我们把函数y=logax（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞），值域是R。
对数函数的解析式：
y=logax（a＞0，且a≠1）
在解有关对数函数的解析式时注意：
在涉及到对数函数时，一定要注意定义域，即满足真数大于零；求值域时，还要考虑底数的取值范围。
