设函数f(x)=logax-2x+2，x∈[m，n]是单调减函数，值域为[1+loga，1+loga]．求实数a的取值范围；求证

题文

设函数f(x)=logax-2x+2，x∈[m，n]是单调减函数，值域为[1+log_a（n-1），1+log_a（m-1）]．
（1）求实数a的取值范围；
（2）求证：2＜m＜4＜n；
（3）若函数g(x)=1+loga(x-1)-logax-2x+2，x∈[m，n]的最大值为A，求证：0＜A＜1． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由题意，得logam-2m+2=1+loga(m-1)，所以m-2m+2＞0m-1＞0解得m＞2.又logan-2n+2=1+loga(n-1)，所以
m，n是关于x的方程logax-2x+2=1+loga(x-1)在区间(2，+∞)内的两个
不相等的实根，
即m，n是关于x的方程ax²+（a-1）x+2（1-a）=0在区间（2，+∞）内的两个
不相等的实根，
即a＞0且a≠1△=(a-1)2+8a(a-1)＞0-a-12a＞24a+2(a-1)+2(1-a)＞0解得0＜a＜19．(6分)
此时，由于函数y=x-2x+2=1-4x+2在区间[m，n](m＞2)上是单调增函数，
且y＞0，结合函数y=log_ax在区间（0，+∞）内是单调减函数，
知函数f(x)=logax-2x+2，x∈[m，n]是单调减函数，
值域为[1+log_a（n-1），1+log_a（m-1）]．
故实数a的取值范围是区间(0，19).（8分）
（2）令h（x）=ax²+（a-1）x+2（1-a）
．由于h（2）=4a+2（a-1）+2（1-a）=4a＞0，
h（4）=16a+4（a-1）+2（1-a）=18a-2＜0，
所以2＜m＜4＜n．（12分）
（3）因为函数g(x)=1+loga(x-1)-logax-2x+2=1+loga(x-1)(x+2)x-2，所以，当x＞2时，
g′(x)=1lna•x-2(x+2)(x-1)•(2x+1)(x-2)-(x2+x-2)(x-2)2=1lna•x(x-4)(x+2)(x-1)(x-2)，
因为lna＜0，所以当x∈[m，4）时，g'（x）＞0，即g（x）在区间[m，4]上是单调增函数；
当x∈（4，+∞）时，g'（x）＜0，即g（x）在区间[4，n]上是单调减函数；
故A=g(4)=1+loga(4-1)(4+2)4-2=1+loga9.
由0＜a＜19，得-1＜loga9＜0，
所以0＜A＜1．（16分）

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解析

m-2m+2

考点

据考高分专家说，试题“设函数f(x)=logax-2x+2，x.....”主要考查你对 [对数函数的解析式及定义（定义域、值域） ]考点的理解。 对数函数的解析式及定义（定义域、值域）

对数函数的定义：

一般地，我们把函数y=log_ax（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞），值域是R。

对数函数的解析式：

y=log_ax（a＞0，且a≠1）

在解有关对数函数的解析式时注意：

在涉及到对数函数时，一定要注意定义域，即满足真数大于零；求值域时，还要考虑底数的取值范围。