使函数f(x)=log2(x+1x)，x∈M的值域为[1，2]，则区间M可以是______．

题文

使函数f(x)=log2(x+1x)，x∈M的值域为[1，2]，则区间M可以是______． 题型：未知 难度：其他题型

答案

令x+1x＞0解得，x＞0，故函数的定义域是（0，+∞），
设t=x+1x，由于x＞0，故t≥2，
∵t在区间（0，1）上是减函数，在区间（1，+∞）上是增函数；且函数y=log₂^x在定义域上是增函数，
∴f(x)=log2(x+1x)在区间（0，1）上是减函数，在区间（1，+∞）上是增函数，
∵f(x)=log2(x+1x)，x∈M的值域为[1，2]，∴当x+1x=2时，函数值为1；当x+1x=4时函数值为2，
解得：x=1；x=2±3，
根据函数的单调性知，区间M可以是[1，2+3]或[2-3，1]，
故答案为：[1，2+3]．

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解析

1x

考点

据考高分专家说，试题“使函数f(x)=log2(x+1x)，x.....”主要考查你对 [对数函数的解析式及定义（定义域、值域） ]考点的理解。 对数函数的解析式及定义（定义域、值域）

对数函数的定义：

一般地，我们把函数y=log_ax（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞），值域是R。

对数函数的解析式：

y=log_ax（a＞0，且a≠1）

在解有关对数函数的解析式时注意：

在涉及到对数函数时，一定要注意定义域，即满足真数大于零；求值域时，还要考虑底数的取值范围。