已知函数f=log3的图象过点A，B，求函数f的解析式；记an=3f，是否存在正数k，

题文

已知函数f（x）=log₃（ax-b）的图象过点A（2，1），B（5，2），
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）记a_n=3^f（n）（n∈N^*），是否存在正数k，使得(1+1a1)(1+1a2)…(1+1an)≥k2n+1对一切n∈N^*均成立，若存在，求出k的最大值；若不存在，说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由题意得 log3(2a+b)=1log3(5a+b)=2，解得 a=2，b=-1，所以f（x）=log3（2x-1），
（2）因为an=3log3(2n-1)=2n-1．
假设存在正数k，使得(1+1a1)(1+1a2)…(1+1an)≥k2n+1对一切n∈N^*均成立，
则k≤12n+1（1+1a1）（1+1a2）…（1+1an）恒成立．
记F（n）=12n+1（1+1a1）（1+1a2）…（1+1an）．
则F（n+1）=12n+3（1+1a1）（1+1a2）…（1+1an）（1+1an+1）．
∵F(n+1)F(n)=2n+2(2n+1)(2n+3)=2(n+1)4(n+1) 2-1＞2(n+1)2(n+1)=1．
∴．F（n+1）＞F（n），所以F（n）是递增数列．
所以n1=时F（n）最小，最小值F（1）=233．
所以k≤233．即k的最大值为233．

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解析

log3(2a+b)=1log3(5a+b)=2

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=log3（ax-b）的.....”主要考查你对 [对数函数的解析式及定义（定义域、值域） ]考点的理解。 对数函数的解析式及定义（定义域、值域）

对数函数的定义：

一般地，我们把函数y=log_ax（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞），值域是R。

对数函数的解析式：

y=log_ax（a＞0，且a≠1）

在解有关对数函数的解析式时注意：

在涉及到对数函数时，一定要注意定义域，即满足真数大于零；求值域时，还要考虑底数的取值范围。