已知a＞0且a≠1，函数f=loga．求函数f的定义域，并判断f的单调性；若n∈N*，求limn→∞af(n)an+a

题文

已知a＞0且a≠1，函数f（x）=log_a（1-a^x）．
（1）求函数f（x）的定义域，并判断f（x）的单调性；
（2）若n∈N^*，求limn→∞af(n)an+a；
（3）当a=e（e为自然对数的底数）时，设h（x）=（1-e^f（x））（x²-m+1）．若函数的极值存在，求实数m的取值范围以及函数h（x）的极值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由题意知，1-a^x＞0
所以当0＜a＜1时，f（x）的定义域是（0，∞），a＞1时，f（x）的定义域是（-∞，0），
f′（x）=-axlna1-ax•logea=axax-1
当0＜a＜1时，x∈（0，∞），因为a^x-1＜0，a^x＞0，故f'（x）＜0，所以f（x）是减函数．
当a＞1时，x∈（-∞，0），因为a^x-1＜0，a^x＞0，故f'（x）＜0，所以f（x）是减函数．
（2）因为f（n）=log_a（1-aⁿ），所以a^f（n）=1-aⁿ，由函数定义域知1-aⁿ＞0，因为n是正整数，故0＜a＜1，
所以limn→∞af(n)an+a=limn→∞1-anan+a=1a．
（3）h（x）=e^x（x²-m+1）（x＜0），所以h'（x）=e^x（x²+2x-m+1），令h'（x）=0，即x²+2x-m+1=0，由题意应有△≥0，即m≥0．
①当m=0时，h'（x）=0有实根x=-1，在x=-1点左右两侧均有h'（x）＞0，故h（x）无极值．
②当0＜m＜1时，h'（x）=0有两个实根x1=-1-m，x2=-1+m．当x变化时，h'（x）的变化情况如下表： x（-∞，x₁） x₁ （x₁，x₂） x₂ （x₂，0）h′（x）+0 -0 + h（x） 递增极大值 递减 极小值 递增 ∴h（x）的极大值为2e-1-m(1+m)，h（x）的极小值为2e-1+m(1-m)．
③当m≥1时，h'（x）=0在定义域内有一个实根x=-1-m．
同上可得h（x）的极大值为2e-1-m(1+m)．
综上所述，m∈（0，+∞）时，函数h（x）有极值．
当0＜m＜1时，h（x）的极大值为2e-1-m(1+m)，h（x）的极小值为2e-1+m(1-m)．
当m≥1时，h（x）的极大值为2e-1-m(1+m)．

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解析

-axlna1-ax

考点

据考高分专家说，试题“已知a＞0且a≠1，函数f（x）=log.....”主要考查你对 [对数函数的解析式及定义（定义域、值域） ]考点的理解。 对数函数的解析式及定义（定义域、值域）

对数函数的定义：

一般地，我们把函数y=log_ax（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞），值域是R。

对数函数的解析式：

y=log_ax（a＞0，且a≠1）

在解有关对数函数的解析式时注意：

在涉及到对数函数时，一定要注意定义域，即满足真数大于零；求值域时，还要考虑底数的取值范围。