已知函数f(x)=,(1)求f(x)的定义域，并作出函数的图像；(2)求f(x)的不连续点x0;(3)对f(x)补充定义，使其是R上的连续函数.

题文

已知函数f(x)=

解析

(1)当x+2≠0时，有x≠－2
因此，函数的定义域是(－∞,－2)∪(－2,+∞)
当x≠－2时，f(x)=

 =x－2,
其图像如上图
(2)由定义域知，函数f(x)的不连续点是x₀=－2.
(3)因为当x≠－2时，f(x)=x－2,
所以

=－4

 
因此，将f(x)的表达式改写为f(x)=


则函数f(x)在R上是连续函数.

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=,(1)求f(x)的定.....”主要考查你对 [函数的连续性 ]考点的理解。 函数的连续性

函数的连续性定义：

（1）如果函数y=f（x）在点x=x₀处及其附近有定义，并且满足

，则称函数y=f（x）在点x=x₀处连续；否则称y=f（x）在点x=x₀处不连续，或间断点。
（2）如果函数f（x）在某一开区间（a，b）内每一点处都连续，就说函数f（x）在开区间（a，b）内连续，对于闭区间[a，b]上的函数f（x），如果在开区间（a，b）内连续，在左端点x=a处有

，在右端点x=b处有

，就说函数f（x）在闭区间[a，b]上连续。
3、如果f（x）是闭区间[a，b]上的连续函数，那么在闭区间[a，b]上f（x）一定有最大值和最小值。

函数的连续性的特点：

（1）f（x）在x₀处有定义；
（2）f（x）在x₀处的极限存在；
（3）f（x）在点x₀处的极限等于函数值。
三大特点，缺一不可。

常用结论：

如果f（x）是闭区间[a，b]上的连续函数，那么在闭区间[a，b]上f（x）一定有最大值和最小值。