题文
已知幂函数解析
(1)由题意知
,解得:
. 2分
又
∴
或
, 3分
分别代入原函数,得
. 4分
(2)由已知得
. 5分
要使函数不单调，则
，则
. 8分
(3)由已知,
. 9分
法一:假设存在这样的正数
符合题意,
则函数
的图象是开口向下的抛物线,其对称轴为
,
因而,函数
在
上的最小值只能在
或
处取得,
又
,
从而必有
,解得
.
此时,
,其对称轴
,
∴
在
上的最大值为
,符合题意.
∴存在
,使函数
在区间
上的值域为
14分法二:假设存在这样的正数
符合题意,
由(1)知
,
则函数
的图象是开口向下的抛物线,其对称轴为
,
点评：第二问中二次函数不单调需满足对称轴在给定区间内，第三问关于最值的考查需注意对称轴与给定区间的关系，从而确定给定区间上的单调性得到最值，一般求解时都要分情况讨论
考点
据考高分专家说，试题“已知幂函数,且在上单调递增.(1)求实数.....”主要考查你对 [幂函数 ]考点的理解。 幂函数冥函数的定义：
一般地，函数y=xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数。
幂函数的解析式：
y=xα
幂函数的图像：
幂函数图像的性质：
所有幂函数在(0，+∞)上都有定义．
①α＞0，图像都过定点（0，0）和（1，1）；在区间（0，+∞）上单调递增；
②α＜0，图像都过定点（1，1）；在区间（0，+∞）上单调递减;
③当Ol时，曲线下凸．
④当a=l时，图象为过点(0，0)和(1，1)的直线．
⑤当a=0时，
表示过点(1，1)且平行于x轴的直线(除去点(0，1)) 。
幂函数图象的其他性质：
(1)图象的对称性：
把幂函数
的幂指数a（只讨论a是有理数的情况）表示成既约分数的形式（整数看作是分母1的分数），则不论a>0还是a<0，幂函数
的图象的对称性用口诀记为：“子奇母偶孤单单；母奇子偶分两边；分子分母均为奇，原点对称莫忘记”，
(2)图象的形状：
①若a>0，则幂函数
的图象为抛物线形，当a>l时，图象在[0，+∞）上是向下凸的（称为凸函数）；当O ②若a<0，则幂函数y=x“的图象是双曲线形，图象与x轴、y轴无限接近，在(0，+∞)上图象都是向下凸的。
幂函数的单调性和奇偶性：
对于幂函数
（a∈R)．
(1)单调性
当a>0时，函数
在第一象限内是增函数；当a<0时，函数
在第一象限内是减函数．
(2)奇偶性
①当a为整数时，
若a为偶数，则
是偶函数；若a为奇数，则
是奇函数。
②当n为分数，即
（p，q互素，p，q∈Z）时，若分母q为奇数，则分子p为奇数时，
为奇函数；分子p为偶数时，
为偶函数， 若分母q为偶数，则
为非奇非偶函数．
