已知某飞机飞行中每小时的耗油量与其速度的立方成正比．当该机以a公里/小时的速度飞行时，其耗油费用为m元．又设此机每飞行1小时，除耗油费用外的其

题文

已知某飞机飞行中每小时的耗油量与其速度的立方成正比．当该机以a公里/小时的速度飞行时，其耗油费用为m元（油的价格为定值）．又设此机每飞行1小时，除耗油费用外的其他费用为n元．试求此机飞行l公里时的最经济时速及总费用． 题型：未知 难度：其他题型

答案

设最经济的时速为x公里/小时，依题意，设1小时耗油费用为y₁（元），
由已知，耗油量与其速度的立方成正比，则耗油费用也与速度的立方成正比，因此可设y1=kx3，
又由已知，当x=a时，y₁=m，代入上式可求出k=ma3
∴y1=mx3a3
由题意，飞行1小时的总费用为   mx3a3+n
设飞行l公里的总费用为y，则y=(mx3a3+n)?lx=l(mx2a3+nx)=l(mx2a3+n2x+n2x)≥3la3mn24
当且仅当mx2a3=n2x，即x=a3n2m时，ymin=3la3mn24
答：最经济的时速为a3n2m公里/小时，总费用为3la3mn24元．

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解析

ma3

考点

据考高分专家说，试题“已知某飞机飞行中每小时的耗油量与其速度的.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义：
恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·b^x+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。

指数型复合函数的性质的应用:

(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：


；②

.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．
(2)对于形如

一类的指数型复合函数，有以下结论：
①函数

的定义域与f(x)的定义域相同；
②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数

的值域；
③当a>l时，函数

与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.