按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为a元，如果他卖出该产品的单价为m元，则他的满意度为mm+a；如果他买进该产品的单价为n元，则他的满意度为an+a

题文

按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为a元，如果他卖出该产品的单价为m元，则他的满意度为mm+a；如果他买进该产品的单价为n元，则他的满意度为an+a．如果一个人对两种交易（卖出或买进）的满意度分别为h₁和h₂，则他对这两种交易的综合满意度为h1h2．现假设甲生产A、B两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A、B两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A、B的单价分别为m_A元和m_B元，甲买进A与卖出B的综合满意度为h_甲，乙卖出A与买进B的综合满意度为h_乙
（1）求h_甲和h_乙关于m_A、m_B的表达式；当mA=35mB时，求证：h_甲=h_乙；
（2）设mA=35mB，当m_A、m_B分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？
（3）记（2）中最大的综合满意度为h₀，试问能否适当选取m_A，m_B的值，使得h_甲≥h₀和h_乙≥h₀同时成立，但等号不同时成立？试说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）甲：买进A的满意度为h_A1=12mA+12，卖出B的满意度为h_B1=mBmB+5；
所以，甲买进A与卖出B的综合满意度为h_甲=hA1?hB1=12mA+12×mBmB+5=12mB(mA+12)( mB+5)；
乙：卖出A的满意度为：h_A2=mAmA+3，买进B的满意度为：h_B2=20mB+20；
所以，乙卖出A与买进B的综合满意度h_乙=hA2?hB2=mAmA+3×20mB+20=20mA(mA+3)( mB+20)；
 当mA=35mB时，h_甲=12mB(35mB+12)(mB+5)=20mB(mB+20)( mB+5)，
h_乙=20×35mB(35mB+3)(mB+20)  =20mB(mB+5)(mB+20) ，所以h_甲=h_乙
（2）设m_B=x（其中x＞0），当mA=35mB时，
h_甲=h_乙=20x(x+5)(x+20)=20x+100x+25≤202x?100x+25 =2045=23；
当且仅当x=100x，即x=10时，上式“=”成立，即m_B=10，m_A=35×10=6时，
甲、乙两人的综合满意度均最大，最大综合满意度为23
（3）不能由（2）知h₀=23．因为h_甲h_乙≤49
因此，不能取到m_A，m_B的值，使得h_甲≥h₀和h_乙≥h₀同时成立，但等号不同时成立．

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解析

12mA+12

考点

据考高分专家说，试题“按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义：
恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·b^x+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。

指数型复合函数的性质的应用:

(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：


；②

.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．
(2)对于形如

一类的指数型复合函数，有以下结论：
①函数

的定义域与f(x)的定义域相同；
②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数

的值域；
③当a>l时，函数

与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.