某隧道长6000米，最高限速为v0，一个匀速行进的车队有10辆车，每辆车的车身长12米，相邻两车之间的距离与车速v的平方成正比，比例系数为k

题文

某隧道长6000米，最高限速为v₀（米/秒），一个匀速行进的车队有10辆车，每辆车的车身长12米，相邻两车之间的距离与车速v（米/秒）的平方成正比，比例系数为k（k＞0），自第一辆车车头进入隧道至第10辆车车尾离开隧道时所用时间为t（秒）．
（1）求函数t=f（v）的解析式，并写出定义域；
（2）求车队通过隧道时间t的最小值，并求出此时车速v的大小． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）依题意得，车队通过隧道的时间t关于车队行进速度v的函数解析式为：t=f(v)=6000+120+9kv2v=6120+9kv2v，其中，定义域为v∈（0，v₀]；
（2）t=f(v)=6120+9kv2v=9kv+6120v=9?(kv+680v)，v∈（0，v₀]；
令kv=680v?v=680k，于是：
①当v0≥680k时，t=f(v)≥9?2680k=36170k；当且仅当v=680k时，t取得最小值；
②当v0＜680k时，可知在（0，v₀]上函数t=f（v）单调递减，则当v=v₀时，车队经过隧道的时间t的最小值为tmin=f(v0)=6120+9kv20v0；
综上，若v0≥680k，则当车速为v=680k（米/秒）时，车队通过隧道时间有最小值tmin=32170k（秒）；若v0＜680k，则当车速为v=v₀（米/秒）时，车队通过隧道时间有最小值tmin=6120+9kv20v0（秒）．

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解析

6000+120+9kv2v

考点

据考高分专家说，试题“某隧道长6000米，最高限速为v0（米/.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义：
恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·b^x+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。

指数型复合函数的性质的应用:

(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：


；②

.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．
(2)对于形如

一类的指数型复合函数，有以下结论：
①函数

的定义域与f(x)的定义域相同；
②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数

的值域；
③当a>l时，函数

与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.