已知函数f=2-2ax-a2x．求函数f的值域；若x∈[-1，2]时，函数f的最小值为-6，求a的值并求函数f（

题文

已知函数f（x）=2-2a^x-a^2x（a＞0且a≠1）．
（1）求函数f（x）的值域；
（2）若x∈[-1，2]时，函数f（x）的最小值为-6，求a的值并求函数f（x）的最大值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）令 a^x=t＞0，可得函数h（t）=f（x）=2-2t-t²=3-（t+1）²．
由于 （t+1）²＞1，∴f（x）＜2，故函数f（x）的值域为（-∞，2）．
（2）①当a＞1时，由x∈[-1，2]可得，1a≤t≤a²，由于函数h（t）=f（x）=3-（t+1）² 在
区间[1a，a²]上是减函数，
故当t=a²时，函数f（x）取得最小值为 3-（a²+1）²=-6，解得 a=2；故当t=1a=22时，
函数取得最大值为32-2．
②当 0＜a＜1时，由x∈[-1，2]可得，1a≥t≥a²，由于函数h（t）=f（x）=3-（t+1）² 在
区间[a²，1a]上是减函数，
故当t=1a时，函数f（x）取得最小值为 3-(1a+1)2=-6，解得 a=12，
故当t=a²=14时，函数取得最大值为3-2516=2316．
综上可得，a的值等于2，函数f（x）的最大值为32-2；或者是a=14，函数的最大值为 2316．

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解析

1a

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=2-2ax-a2x（a.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义：
恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·b^x+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。

指数型复合函数的性质的应用:

(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：


；②

.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．
(2)对于形如

一类的指数型复合函数，有以下结论：
①函数

的定义域与f(x)的定义域相同；
②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数

的值域；
③当a>l时，函数

与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.