用长为18cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？

题文

用长为18cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？ 题型：未知 难度：其他题型

答案

设长方体的宽为x（m），则长为2x（m），高为h=18-12x4=4.5-3x(m)(0＜x＜32)．
故长方体的体积为V（x）=2x²（4.5-3x）=9x²-6x³（m³）(0＜x＜32)．
从而V′（x）=18x-18x²=18x（1-x）．
令V′（x）=0，解得x=0（舍去）或x=1，因此x=1．
当0＜x＜1时，V′（x）＞0；当1＜x＜23时，V′（x）＜0，
故在x=1处V（x）取得极大值，并且这个极大值就是V（x）的最大值．
从而最大体积V=V′（x）=9×1²-6×1³（m³），此时长方体的长为2m，高为1.5m．
答：当长方体的长为2m时，宽为1m，高为1.5m时，体积最大，最大体积为3m³．

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解析

18-12x4

考点

据考高分专家说，试题“用长为18cm的钢条围成一个长方体形状的.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义：
恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·b^x+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。

指数型复合函数的性质的应用:

(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：


；②

.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．
(2)对于形如

一类的指数型复合函数，有以下结论：
①函数

的定义域与f(x)的定义域相同；
②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数

的值域；
③当a>l时，函数

与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.