函数f=ax-1+3的图象过一个定点P，且点P在直线mx+ny-1=0上，则1m+4n的最小值是______．

题文

函数f（x）=a^x-1+3（a＞0，且a≠1）的图象过一个定点P，且点P在直线mx+ny-1=0（m＞0且n＞0）上，则1m+4n的最小值是______． 题型：未知 难度：其他题型

答案

当x=1时，f（1）=a⁰+3=4，函数f（x）恒过定点P（1，4）．
∵点P在直线mx+ny-1=0（m＞0且n＞0）上，∴m+4n=1．
∴1m+4n=(m+4n)(1m+4n)=17+4nm+4mn≥17+2×4×nm×mn=25，当且仅当m=n=15时取等号．
∴1m+4n的最小值是25．
故答案为25．

点击查看指数函数模型的应用知识点讲解,巩固学习

解析

1m

考点

据考高分专家说，试题“函数f（x）=ax-1+3（a＞0，且a.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义：
恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·b^x+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。

指数型复合函数的性质的应用:

(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：


；②

.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．
(2)对于形如

一类的指数型复合函数，有以下结论：
①函数

的定义域与f(x)的定义域相同；
②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数

的值域；
③当a>l时，函数

与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.