某造船公司年造船量是20艘，已知造船x艘的产值函数为R=3700x+45x2-10x3，成本函数为C=460x+5000

题文

某造船公司年造船量是20艘，已知造船x艘的产值函数为R（x）=3 700x+45x²-10x³（单位：万元），成本函数为C（x）=460x+5 000（单位：万元），又在经济学中，函数f（x）的边际函数Mf（x）定义为Mf（x）=f（x+1）-f（x）．
（1）求利润函数P（x）及边际利润函数MP（x）；（提示：利润=产值-成本）
（2）问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？
（3）求边际利润函数MP（x）的单调递减区间，并说明单调递减在本题中的实际意义是什么？ 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）P（x）=R（x）-C（x）=-10x³+45x²+3240x-5000（x∈N*，且1≤x≤20）；
MP（x）=P（x+1）-P（x）=-30x²+60x+3275（x∈N*，且1≤x≤19）．
（2）P′（x）=-30x²+90x+3240=-30（x-12）（x+9），
∵x＞0，∴P′（x）=0时，x=12，
∴当0＜x＜12时，
P′（x）＞0，当x＞12时，P′（x）＜0，
∴x=12时，P（x）有最大值．
即年造船量安排12艘时，可使公司造船的年利润最大．
（3）MP（x）=-30x²+60x+3275=-30（x-1）²+3305．
所以，当x≥1时，MP（x）单调递减，
所以单调减区间为[1，19]，且x∈N^*．
MP（x）是减函数的实际意义，随着产量的增加，每艘利润与前一艘利润比较，利润在减少．

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解析

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考点

据考高分专家说，试题“某造船公司年造船量是20艘，已知造船x艘.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义：
恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·b^x+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。

指数型复合函数的性质的应用:

(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：


；②

.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．
(2)对于形如

一类的指数型复合函数，有以下结论：
①函数

的定义域与f(x)的定义域相同；
②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数

的值域；
③当a>l时，函数

与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.