某工厂日生产某种产品最多不超过30件，且在生产过程中次品率p与日产量x件间的关系为p=x+202000＜x≤15x2+300300015＜x≤30，

题文

某工厂日生产某种产品最多不超过30件，且在生产过程中次品率p与日产量x（x∈N⁺）件间的关系为 
p=x+202000＜x≤15x2+300300015＜x≤30，每生产一件正品盈利2900元，每出现一件次品亏损1100元．
（Ⅰ）将日利润y（元）表示为日产量x（件）的函数；
（Ⅱ）该厂的日产量为多少件时，日利润最大？
（注：次品率p=次品个数产品总数×100%，正品率=1-p） 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）由题意得：
y=2900(1-x+20200)x-1100×x+20200×x0＜x≤152900(1-x2+3003000)x-1100×x2+3003000×x15＜x≤30
=2500x-20x20＜x≤152500x-43x315＜x≤30（6分）
（II）当0＜x≤15时，y=2500x-20x²，
∴当x=15时，y取得最大值33000元…6分
当15＜x≤30时，y=2500x-43x3
则y′=2500-4x²，令y′=0，则x=25
∵当15＜x≤25时，y′≥0，当25＜x≤30，y′＜0…8分
故当x=25时，y取得最大值1250003元…10分
∵33000＜1250003
∴当x=25时，y取得最大值1250003元
即该厂的日产量为25件时，日利润最大…12分

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解析

2900(1-x+20200)x-1100×x+20200×x0＜x≤152900(1-x2+3003000)x-1100×x2+3003000×x15＜x≤30

考点

据考高分专家说，试题“某工厂日生产某种产品最多不超过30件，且.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义：
恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·b^x+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。

指数型复合函数的性质的应用:

(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：


；②

.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．
(2)对于形如

一类的指数型复合函数，有以下结论：
①函数

的定义域与f(x)的定义域相同；
②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数

的值域；
③当a>l时，函数

与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.