如图，ABCD是边长为4km的正方形地域，地域内有一条河流从A流到E，且河流是以A为顶点开口向上的一段抛物线弧，其中E为BC的中点．某公司准备投资建一个大型矩形

题文

如图，ABCD是边长为4km的正方形地域，地域内有一条河流从A流到E，且河流是以A为顶点开口向上的一段抛物线弧，其中E为BC的中点．某公司准备投资建一个大型矩形游乐园PMDN，问如何修建才能使得游乐园的面积最大？最大面积是多少？

题型：未知 难度：其他题型

答案

以A为原点，AB为x轴的正向建立平面直角坐标系．设抛物线弧AE
的方程为y=ax²（0≤x≤4）
∵E（4，2），2=16a⇒a=18
，故y=18x2．
设P(x，18x2)(0＜x≤4)，矩形PMDN的面积为S，
则S=x(4-18x2)=-18x3+4x(0＜x≤4)．
∴S′=-38x2+4．
令S'=0，得x=463
或x=-463（舍）．
∵当x∈(0，463)
时，S'＞0；当x∈(463，4)
时，S'＜0，
∴x=463
为S的极大值点，也是最大值点．
故当x=463时，S有最大值且最大值为S(463)=3269．
答：当游乐园PMDN的两邻边MD=83km，DN=463km时，游乐园PMDN的面积最大，且最大面积等于3269km2．

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解析

AB

考点

据考高分专家说，试题“如图，ABCD是边长为4km的正方形地域.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义：
恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·b^x+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。

指数型复合函数的性质的应用:

(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：


；②

.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．
(2)对于形如

一类的指数型复合函数，有以下结论：
①函数

的定义域与f(x)的定义域相同；
②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数

的值域；
③当a>l时，函数

与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.